Question

设为实数，函数。

①求的单调区间与极值；

②求证：当且时，。

 

Answer 1

【答案】

（1）解：由

令，得于是当的变化情况如下：

	-	0	+

故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为

（2）设。对于任意的＞0，所以在R内单调递增。

得到。

【解析】

试题分析：（1）解：由

令，得于是当的变化情况如下：

	-	0	+

故的单调递减区间是，单调递增区间是，在处取得极小值，极小值为

（2）证：设。由(1)知＞时，＞0

于是对于任意的＞0，所以在R内单调递增。

于是当＞时，对任意的＞

而=0，从而对于任意的，＞0.

即＞0，故

考点：本题主要考查导数计算，应用导数研究函数的单调性、极值，利用导数证明不等式。

点评：典型题，在给定区间，导数值非负，函数是增函数，导数值为非正，函数为减函数。求极值的步骤：计算导数、求驻点、讨论驻点附近导数的正负、确定极值。不等式证明中，构造函数是关键。本题利用“本解法”，直观明了。