Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+cx在x=±1处取得极值，且在x=0处的切线的斜率为-3，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若过点A（2，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围。

Answer 1

解：（Ⅰ）f′（x）=3ax²+2bx+c，
依题意，
又f′（0）=-3，
∴c=-3，
∴a=1，
∴f（x）=x³-3x；
（Ⅱ）设切点为，
∵f′（x）=3x²-3，
∴，
∴切线方程为，
又切线过点A（2，m），
∴，
∴，
令g（x）=-2x³+6x²-6，
则g′（x）=-6x²+12x=-6x（x-2），
由g′（x）=0得x=0或x=2，
g（x）_极小值=g（0）=-6，g（x）_极大值=g（2）=2，

画出草图知，当-6＜m＜2时，m=-2x³+6x²-6有三解，
所以m的取值范围是（-6，2）。