Question

已知函数f（x）=lnx+ax-a²x²（a≥0）．
（1）若x=1是函数y=f（x）的极值点，求a的值；
（2）求函数y=f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）确定函数的定义域，求导函数，利用x=1是函数y=f（x）的极值点，即可求a的值；
（2）分类讨论，利用导数的正负，结合函数的定义域，可得函数的单调区间．

解答：解：（1）函数定义域为（0，+∞），f′(x)=

-2a2x2+ax+1

x

因为x=1是函数y=f（x）的极值点，所以f′（1）=1+a-2a²=0，解得a=-

1

2

或a=1，
因为a＞0，所以a=1；
（2）若a=0，f′(x)=

1

x

＞0，
∴函数f（x）的单调增区间为（0，+∞）；
若a≠0，则a＞0，f′(x)=

-2a2x2+ax+1

x

=

(2ax-1)(-ax-1)

x

由f′（x）＞0，结合函数的定义域，可得0＜x＜

1

a

；由f′（x）＜0，结合函数的定义域，可得x＞

1

a

；
∴函数的单调增区间为（0，

1

a

）；单调减区间为（

1

a

，+∞）．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值，考查函数的单调性，正确求导，合理分类是关键．