题目内容

已知函数f(x)=
2x+a
2x+1
，且函数f（x）为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若f(x)＜
1
2
，求x的取值范围；
（Ⅲ）证明f（x）在（-∞，+∞）上为增函数．
（Ⅰ）∵f（-x）=-f（x），即
2-x+a
2-x+1
+
2x+a
2x+1
=0，
1+a•2x
2x+1
+
2x+a
2x+1
=0?(a+1)(2x+1)=0?a=-1
（Ⅱ）∵
2x-1
2x+1
＜
1
2
?2(2x-1)＜2x+1，
∴2x＜3，∴x＜log23
（Ⅲ）任取x1、x2∈（-∞，+∞）且x1＜x2
f（x1）-f（x2）=
2x1-1
2x1+1
-
2x2-1
2x2+1
=
2(2x1-2x2)
(2x1+1)(2x2+1)

∵y'=2x在R上为增函数，x1＜x2∴2X1＜2X2又∵2X1+1＞0，2X2+1＞0
∴f（x1）-f（x2）＜0即∴f（x）在R上为增函数．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函数f（x）的对称中心；
（2）证明：函数f（x）在（-1，+∞）上为减函数；
（3）是否存在负数x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，请说明理由．
已知函数f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，则f[f（-2）]=
3
3
．
已知函数f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函数f（x）的值域和最小正周期；
（2）当x∈[0，2π]时，求使f(x)=
3
成立的x的值．
已知函数f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的图象过点（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）若f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，求实数m的取值范围．
已知函数f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，则当x=
4π
3
4π
3
时，函数f（x）有最大值，最大值为
2
3
2
3
．

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