Question

若4cosAcosB=

6

，4sinAsinB=

2

，0＜B＜A＜

π

2

，求(1+cos2A)(1-cos2B)的值．

Answer 1

分析：首先由cosAcosB、sinAsinB的值利用余弦的和（差）角公式求出cos（A+B）、cos（A-B），再由同角三角函数关系式求出sin（A+B）、sin（A-B），然后把欲求代数式利用余弦的倍角公式进行化简，最后根据积化和差公式把它用已知表示出来，则问题解决．

解答：解：由题意知cosAcosB=

6

4

，sinAsinB=

2

4

，
∴cos（A+B）=

6 - 2

4

，cos（A-B）=

6 + 2

4

，
又0＜B＜A＜

π

2

，∴sin（A+B）=

6 + 2

4

，sin（A-B）=

6 - 2

4

，
∴（1+cos2A）（1-cos2B）=（1+2cos²A-1）（1-1+2sin²B）
=4（cosAsinB）²
=4×

1

4

[sin（A+B）-sin（A-B）]²
=(

2

2

)2=

1

2

．

点评：本题考查余弦的和角公式、差角公式、倍角公式及同角正余弦关系式，同时考查积化和差公式．