Question

如图，将边长为5+

2

的正方形，剪去阴影部分后，得到圆锥的侧面和底面的展开图，则圆锥的体积是（　　）

• A、

  2 30

  3

  π
• B、

  2 6

  3

  π
• C、

  30

  3

  π
• D、

  60

  3

  π

Answer 1

分析：设圆锥底面圆的半径是r，母线为l，根据直线与圆相切、圆与圆相切的性质，结合正方形的边长为5+

2

得到l+（1+

2

）r=5

2

+2．再由扇形的弧长正好等于底面圆的周长，算出l=4r，从而解出r=

2

，进而可得此圆锥的体积．

解答：解：根据题意，欲在正方形内剪去阴影部分后裁剪出圆锥的底面，
则圆锥的底面圆与正方形的边和以A为中心角的扇形的弧都相切，
设此时圆的圆心为M，与BC边相切于点N，设圆锥底面圆的半径是r，母线为l，
可得AC=AM+CM=5

2

+2，即l+（1+

2

）r=5

2

+2，
∵扇形的弧长正好等于底面圆的周长，即

1

4

πl=2πr，解之得l=4r，
∴两式联解可得r=

2

，
由此可得l=4

2

，圆锥的高h=

l2-r2

=

30

，
圆锥的体积V=

1

3

πr2h=

1

3

π×(

2

)2×

30

=

2 30

3

π．
故选：A

点评：本题将正方形裁剪出圆锥的平面展开图形，求该圆锥的体积．着重考查了正方形的性质、圆锥的侧面展开图、直线与圆相切的性质和圆与圆相切的性质等知识，属于中档题．