Question

设f（x）=x²-x-alnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用导数的正负，可得函数的单调递增区间与单调递减区间；
（2）通过解f′（x）求单调区间，转化为恒成立问题，即可确定实数a的取值范围．

解答：解：（1）由于f（x）=x²-x-lnx，
则f'（x）=2x-1-

1

x

=

(2x+1)(x-1)

x

（x＞0）
令f′（x）＞0，则x＞1，∴x＞1；
令f′（x）＜0，
则0＜x＜1，∴0＜x＜1；
∴函数的单调递增区间是（1，+∞），单调递减区间是（0，1）．
（2）由于f（x）=x²-x-alnx，则f（x）=2x-1-

a

x

（x＞0）
由于f（x）在[2，+∞）上单调递增，
则2x-1-

a

x

≥0在[2，+∞）上恒成立，
即a≤2x²-x在[2，+∞）上恒成立，
设g（x）=2x²-x，
∵g（x）在[2，+∞）上单调递增，
∴g（x）≥g（2）=6，
∴a≤6
∴实数a的取值范围（-∞，6]．

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查恒成立问题，正确运用分离参数法是关键．