Question

一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为36π，则此正方体的体对角线为

 

；若此正方体的一条棱长变更为3，则该棱的两端点之间的球面距离为

 

．

Answer 1

分析：由题意球的直径等于正方体的体对角线的长，求出球的半径，再求正方体的棱长，然后求正方体的体对角线，由题意求出正四面体的棱长，利用余弦定理求出∠AOB，然后求出A与B两点间的球面距离．

解答：解：设球的半径为R，由

4π

3

R3=36π得R=3，
此正方体的体对角线即为球的直径，
则此正方体的体对角线为6．
若此正方体的一条棱长AB变更为3，
正方体的对角线就是外接球的直径，所以球的半径长为：r=

3

2

3

；
cos∠AOB=

r 2+r 2-AB 2

2r×r

代入数据得：
cos∠AOB=-

1

3

A与B两点间的球面距离为：

3

2

3

×arccos（-

1

3

）=

3 3

2

arccos

1

3

故答案为：6；3

3

arcsin

3

3

或

3 3

2

arccos

1

3

点评：本题是基础题，考查正四面体的外接球的知识，考查空间想象能力，计算能力，球面距离的求法，是常考题型．