Question

已知函数f(x)=1-

ax2+9

（-3≤x≤0），点P(-1，-

5

)在f（x）的反函数的图象上．
（1）求a的值，并求出f（x）的反函数f^-1（x）；
（2）解方程：f^-1（x）=-2．

Answer 1

分析：（1）利用函数f（x）的反函数的图象经过点P可知点Q(-

5

，-1)在函数f（x）的图象上，由此代入数值即可求得．最后再求其反函数即可；
（2）由（1）得f^-1（x），列方程解之即得．

解答：解：（1）依题意，点Q(-

5

，-1)在函数f（x）的图象上，
将x=-

5

，y=-1，代入f(x)=1-

ax2+9

中，
解得a=-1，
∴f(x)=1-

-x2+9

f（x）的反函数f^-1（x）=-

9-(1-x)2

，（-2≤x≤1）
（2）方程：f^-1（x）=-2即：
-

9-(1-x)2

=-2，
解得：x=1-

5

．

点评：本题考查了互为反函数的函数图象之间的关系，本题的解答，巧妙的利用互为反函数的函数图象间的关系，将反函数图象上的点转化为原函数图象上的点，过程简捷！这要比求出原函数的反函数，再将点的坐标代入方便的多，不妨一试进行比较．