Question

已知函数f(x)=cosx-

3

sinx+1(x∈R)．
（Ⅰ）求函数y=f（x）的最大值，并指出取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）求函数y=f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：先利用两角和的余弦公式将函数f（x）化为y=Acos（ωx+φ）型函数，
（I）利用余弦函数的有界性求得函数的最大值，再由余弦函数取最大值是自变量的值求得f（x）取得最大值时相应的x的值；
（Ⅱ）将内层函数置于外层函数的单调增区间上，通过解不等式即可求得函数f（x）的单调增区间

解答：解：（Ⅰ）f(x)=cosx-

3

sinx+1=2(

1

2

cosx-

3

2

sinx)+1=2cos（x+

π

3

）+1
∴f（x）的最大值是3
此时x+

π

3

=2kπ，即x=2kπ-

π

3

   k∈z
（Ⅱ）∵余弦函数的增区间为[2kπ-π，2kπ]（k∈R）
∴由2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ
得2kπ-

4π

3

≤x≤2kπ-

π

3

∴y=f（x）的单调增区间为[2kπ-

4π

3

，2kπ-

π

3

]（k∈R）

点评：本题主要考查了三角变换公式在三角化简求值中的应用，y=Acos（ωx+φ）型函数的图象和性质，整体代入的思想方法，转化化归的思想方法