Question

若函数f（x）满足：对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，且f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，则称函数f（x）为“守法函数”．给出下列四个函数：①；②y=log₂（x+1）；③y=2^x-1；④y=cosx；其中“守法函数”的所有函数的序号是    ．

Answer 1

【答案】分析：分别判断四个函数是否满足两个条件f（x₁）＞0，f（x₂）＞0和f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）成立，然后确定“守法函数的序号”．
解答：解：①若f（x）=，则对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）=，f（x₁+x₂）=，，所以f（x₁）+f（x₂）＞f（x₁+x₂），所以①不是“守法函数”．
②若f（x）=log₂（x+1），对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，设x₁=x₂=1，则f（x₁）+f（x₂）=1+1=2，而f（x₁+x₂）=log₂3＜2，所以f（x₁）+f（x₂）＜f（x₁+x₂）不成立，所以②不是“守法函数”．
③若f（x）=2^x-1，对于任意x₁＞0，x₂＞0都有f（x₁）＞0，f（x₂）＞0，f（x₁）+f（x₂）-f（x₁+x₂）=2^x₁-1+2^x₂-1-2^x₁+x₂₊1＜0，则③是“守法函数”．④若f（x）=cosx，因为f（x）=cosx∈[-1，1]，所以任意x₁＞0，x₂＞0，f（x₁）＞0，f（x₂）＞0不一定成立，所以④不是“守法函数”．
故答案为：③．
点评：本题考查了对数函数、三角函数、指数函数的单调性以及值域，运算量较大，综合性较强．