Question

（2013•怀化三模）过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0的左焦点F（-c，0）（c＞0）作圆x²+y²=a²的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若

OP

=2

OE

-

OF

，则双曲线的离心率为（　　）

• A．

  10

• B．

  10

  5

• C．

  10

  2

• D．

  5

Answer 1

分析：根据

OP

=2

OE

-

OF

，利用向量加法法则得到E为线段PF的中点，从而OE是△PFF'的中位线，得OE

∥

.

1

2

PF'．结合PF与圆x²+y²=a²相切于点E，得出PF⊥PF'且PF'=2a．利用双曲线的定义算出PF=PF'+2a=4a，Rt△PFF'中根据勾股定理算出FF'²=20a²，可得c=

5

a，利用双曲线的离心率公式即可算出该双曲线的离心率．

解答：解：设双曲线的右焦点为F'，连结PF'，
∵

OP

=2

OE

-

OF

，
∴

OE

=

1

2

（

OP

+

OF

），可得点E为线段PF的中点
∵O是FF'的中点，
∴OE是△PFF'的中位线，可得OE

∥

.

1

2

PF'
∵PF与圆x²+y²=a²相切于点E，
∴OE=a且OE⊥PF，可得PF⊥PF'且PF'=2a，
根据双曲线的定义，得PF=PF'+2a=4a，
∴Rt△PFF'中，FF'²=PF²+PF'²=16a²+4a²=20a²，即4c²=20a²，得c=

5

a．
因此，双曲线的离心率e=

c

a

=

5

．
故选：D

点评：本题给出双曲线满足的条件，求它的离心率．着重考查了向量的线性运算、勾股定理和双曲线的简单几何性质等知识，属于中档题．