题目内容

(2013•怀化三模)若正数a,b,c满足a+b+c=1,则
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值为
1
1
分析:根据a+b+c=1,得到(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)=9,结合柯西不等式证出9(
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
)≥9,从而
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
≥1,当且仅当a=b=c=
1
3
时等号成立,由此可得
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值.
解答:解:∵a+b+c=1,
∴(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)=3(a+b+c)+6=9
∵[(3a+2)+(3b+2)+(3C+2)](
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2

≥(
3a+2
1
3a+2
+
3b+2
1
3b+2
+
3c+2
1
3c+2
2=(1+1+1)2=9
∴9(
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
)≥9,得
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
≥1
当且仅当3a+2=3b+2=3C+2,即a=b=c=
1
3
时,
1
3a+2
+
1
3b+2
+
1
3c+2
的最小值为1
故答案为:1
点评:本题给出三个正数a、b、c的和等于1,求关于a、b、c一个分式的最小值,着重考查了利用柯西不等式求最值的方法,属于中档题.根据柯西不等式的形式结合已知条件进行配凑,是解决本题的关键所在.
练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网