Question

已知O为坐标原点，

OA

=(2sin2x，1)，

OB

=(1，-2

3

sinxcosx+1)，f(x)=

OA

•

OB

+m．
（1）求y=f（x）的单调递增区间；
（2）若f（x）的定义域为[

π

2

，π]，值域为[2，5]，求m的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用向量的数量积得到f(x)=2sin2x-2

3

sinxcosx+1+m再用倍角公式得到y=1-cos2x-

3

sinx+1+m再用辅助角法化为y=-2sin(2x+

π

6

)+2+m由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）求单调区间．
（Ⅱ）用整体思想，由x的范围，得到

7π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

，解得f（x）的值域．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=2sin2x-2

3

sinxcosx+1+m
=1-cos2x-

3

sinx+1+m=-2sin(2x+

π

6

)+2+m
由

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

3π

2

+2kπ（k∈Z）
得y=f（x）的单调递增区间为[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）
（Ⅱ）当

π

2

≤x≤π时，

7π

6

≤2x+

π

6

≤

13π

6

∴-1≤sin(2x+

π

6

)≤

1

2

∴1+m≤f（x）≤4+m，
∴

1+m=2 4+m=5

?m=1

点评：本题主要考查向量的数量积，三角函数的倍角公式及辅助角法以及求单调区间及值域等问题，本题的关键是整体思想的应用．