Question

（1）求证方程x3-(

2

+1)x2+(

2

-Q)x+Q=0的一个根是1，
（2）设这个方程的三个根是△ABC的三个内角的正弦sinA，sinB，sinC，求A、B、C的度数以及Q的值．

Answer 1

（1）将x=1代入这个方程式，
则13-(

2

+1)•12+(

2

-Q)•1+Q=0，
故知1是原方程的一个根．
（2）由于1是原方程的一个根，所以方程左边能被x-1整除．
用x-1除方程左边后得商式x2-

2

x-Q=0.
根据题设条件（即有一个根为1，不妨设sinC=1）及根与系数的关系可得

sinC=1(1) sinA+sinB= 2 (2) sinA•sinB=-Q(3)

由（1）可知C=90°，于是A+B=90°，B=90°-A，代入（2）得sinA+sin（90°-A）=

2

，即sinA+cosA=

2

，
∴

2

2

sinA+

2

2

cosA=1，sin45°•sinA+cos45°•cosA=1，cos（A-45°）=1，
∴A-45°=0，∴A=45°
B=90°-45°=45°
从（3）式可得Q=-sinA•sinB=-

2

2

•

2

2

=-

1

2

.