题目内容

已知a＞0，b＞0，不等式-b＜
1
x
＜a的解集是
(-∞，-
1
b
)∪(
1
a
，+∞)
(-∞，-
1
b
)∪(
1
a
，+∞)
．
分析：在a＞0，b＞0的条件下将-b＜
1
x
＜a转化为
1+bx
x
＞0
1-ax
x
＜0
即可求得答案．
解答：解：∵-b＜
1
x
＜a，
∴
1
x
+b＞0且
1
x
-a＜0，
∵b＞0，由
1+bx
x
＞0，解得x＞0或x＜-
1
b
；①
1
x
-a＜0，得
1-ax
x
＜0?
ax-1
x
＞0，∵a＞0，
∴x＞
1
a
或x＜0；②
由①②得：x＞
1
a
或x＜-
1
b
；
∴不等式-b＜
1
x
＜a的解集是（-∞，-
1
b
）∪（
1
a
，+∞）．
故答案为：（-∞，-
1
b
）∪（
1
a
，+∞）．
点评：本题考查分式不等式组的解法，将-b＜
1
x
＜a转化为
1+bx
x
＞0
1-ax
x
＜0
是关键，也是难点，考查化归思想与分析运算的能力，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知a＞0，b＞0，且ab=1，α=a+
4
a
，β=b+
4
b
，则α+β的最小值为（　　）
（1）在平面直角坐标系xOy中，判断曲线C：
x=2cosθ
y=sinθ
（θ为参数）与直线l：
x=1+2t
y=1-t
（t为参数）是否有公共点，并证明你的结论．
（2）已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：
1
2a+1
+
4
2b+1
≥
9
4
．
（2013•松江区二模）已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．
已知a＞0，b＞0，a+b=1，则a+
1
a
+b+
1
b
的最小值为
5
5
．
已知双曲线C的中心在原点，D（1，0）是它的一个顶点，
d
=(1，
2
)是它的一条渐近线的一个方向向量．
（1）求双曲线C的方程；
（2）若过点（-3，0）任意作一条直线与双曲线C交于A，B两点 （A，B都不同于点D），求证：
DA
•
DB
为定值；
（3）对于双曲线Γ：
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)，E为它的右顶点，M，N为双曲线Γ上的两点（都不同于点E），且EM⊥EN，那么直线MN是否过定点？若是，请求出此定点的坐标；若不是，说明理由．然后在以下三个情形中选择一个，写出类似结论（不要求书写求解或证明过程）．
情形一：双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0，a≠b)及它的左顶点；
情形二：抛物线y2=2px（p＞0）及它的顶点；
情形三：椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)及它的顶点．

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