Question

在平面直角坐标系xoy中，椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点为F（4m，0）（M＞0，m为常数），离心率等于0.8，过焦点F、倾斜角为θ的直线l交椭圆C于M、N两点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若θ=90°时，

1

MF

+

1

NF

=

5 2

9

，求实数m；
（3）试问

1

MF

+

1

NF

的值是否与θ的大小无关，并证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的性质，可得椭圆的标准方程；
（2）求出MF、NF，利用

1

MF

+

1

NF

=

5 2

9

，即可求实数m；
（3）分类讨论，利用焦半径公式，结合韦达定理，可知

1

MF

+

1

NF

的值与θ的大小无关．

解答：解：（1）由题意，c=4m，

c

a

=0.8，∴a=5m，b=3m，∴椭圆C的标准方程为

x2

25m2

+

y2

9m2

=1；
（2）θ=90°时，N（4m，

9

5

m），NF=MF=

9

5

m
∵

1

MF

+

1

NF

=

5 2

9

，∴

10

9m

=

5 2

9

，∴m=

2

；
（3）

1

MF

+

1

NF

=

10

9m

，证明如下：
由（2）知，当斜率不存在时，

1

MF

+

1

NF

=

10

9m

当斜率存在时，设1：y=k（x-4m）代入椭圆方程得（9+25k²）x²-200mk²x+25m²（16k²-9）=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则MF=e（

25m

4

-x1）=5m-

4

5

x1，NF=5m-

4

5

x2，
∴

1

MF

+

1

NF

=

10m- 4 5 (x1+x2)

25m2-4m(x1+x2)+ 16 25 x1x2

=

10

9m

与θ无关．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．