Question

某企业投资1千万元于一个高科技项目，每年可获利25%，由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行技术改造与广告投入，其余资金全部投入再生产方能保持原有的利润增长率．问经过多少年，该项目的资金（扣除最后一年的技术改造与广告投入资金）可以达到或超过翻两番的目的？（lg2≈0.3）

Answer 1

分析：可由题意找到每年利润所构成的数列的递推公式为 a_n=a_n-1（1+25%）-200（n≥2）⇒an=

5

4

an-1-200
解法一：是构造新数列使其为等比数列，再利用等比数列通项公式求出新数列的通项，最后转变为数列{a_n } 的通项公式．
解法二：是采用迭代法，根据递推公式，一层层往下推，即用含a_n-1的式子表示a_n，含a_n-2的式子表示a_n-1含a_n-3的式子表示a_n-2…，直到推到a₁，就可求出{a_n } 的通项公式．

解答：解：解法一：设第n年终资金为a_n万元，由题意可得an=an-1(1+25%)-200(n≥2)⇒an=

5

4

an-1-200，变形整理可得：an-800=

5

4

(an-1-800)，故{a_n-800}构成一个等比数列，a₁=1000（1+25%）-200=1050，⇒a₁-800=250，故an-800=250(

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4

)n-1⇒an=250(

5

4

)n-1+800=200×(

5

4

)n+800，
令a_n≥4000，得(

5

4

)n≥16，两边取对数可得：nlg

5

4

≥lg16⇒n≥

4lg2

lg5-2lg2

=

4lg2

1-3lg2

≈12，
故至少要12年才能达到目标．
解法二：此题在求通项公式时，也可采用迭代法，
如下：an=

5

4

an-1-200=

5

4

(

5

4

an-2-200)-200=…=1000×(

5

4

)n-200×[(

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)n-1+(

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)n-2+…+1]
=200×(

5

4

)n+800；
其余同解法一

点评：本题考查了用数列只是解决实际问题，关键点是如何把实际问题转化为数列问题．