题目内容
【题目】已知右焦点为
的椭圆
：
过点
（1）求椭圆的方程；
（2）过点
的直线
交椭圆于点
，连接
（
为坐标原点）交于点
，求
的面积取得最大值时直线的方程.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）由题意可知，左焦点
.所以由椭圆的定义
可求
，再根据
求出
，即可求出椭圆C的方程；
（2）分类讨论当直线的斜率存在和不存在两种情况求
的面积. 当直线的斜率存在时，设出直线方程与椭圆方程联立，结合韦达定理，表示出的面积，再利用基本不等式求最值.
（1）
椭圆C：
的右焦点为
，
左焦点.
椭圆C过点P
，由椭圆的定义可知
，
.
由椭圆
的方程为.
（2）由题意可知，直线的斜率不为0.
当直线的斜率不存在时，易求
.
当直线的斜率存在时，可设直线
的方程为
.
联立方程组
消
可得
，
则
，
,
.
是
的中点，
，
，
，当且仅当
，即
时等号成立.
面积的最大值为2.
综上，面积的最大值为2.
所以直线的方程为.
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