Question

设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±

3

3

x，且焦距为4，已知点A（1，

1

2

）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点A（1，

1

2

），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．

Answer 1

分析：（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±

3

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x，且焦距为4，求出几何量，即可求双曲线的标准方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．

解答：解：（1）设双曲线的标准方程为

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0），则
∵双曲线渐近线方程为y=±

3

3

x，且焦距为4，
∴

a

b

=

3

3

，c=2
∵c²=a²+b²
∴a=1，b=

3

∴双曲线的标准方程为y2-

x2

3

=1；
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），代入双曲线方程可得y12-

x12

3

=1，y22-

x22

3

=1
两式相减，结合点A（1，

1

2

）为线段MN的中点，可得y1-y2-

2(x1-x2)

3

=0
∴

y1-y2

x1-x2

=

2

3

∴直线L方程为y-

1

2

=

2

3

(x-1)，即4x-6y-1=0．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．