Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

，x∈R)在一个周期内的图象如图所示
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）设g(x)=

1

2

f(2x)•cosx，求，g(

5

4

π)的值．

Answer 1

分析：（1）由图可知A，由其周期可求ω，利用-

π

2

ω+φ=0可求φ；
（2）由（1）可知函数f（x）的解析式，从而可求得g（x）=

1

2

f（2x）•cosx的解析式，从而可得g（

5π

4

）的值．

解答：解：（1）由图知，A=2，T=4π，由T=

2π

ω

=4π得，ω=

1

2

；
又f（x）=2sin（

1

2

x+φ）过（-

π

2

，0），
∴-

π

2

ω+φ=2kπ，k∈Z，又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

4

．
∴f（x）=2sin（

1

2

x+

π

4

）
（2）∵g（x）=

1

2

f（2x）•cosx=

1

2

×2sin（x+

π

4

）cosx=sin（x+

π

4

）cosx，
∴g（

5π

4

）=sin

3π

2

•cos

5π

4

=-1×（-

2

2

）=

2

2

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查运用诱导公式化简求值，属于中档题．