Question

已知函数f(x)=

3

sin2x+sinxcosx，x∈[

π

2

， π]．
（Ⅰ）求f(

2π

3

)的值；
（Ⅱ）求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵sin

2π

3

=

3

2

，cos

2π

3

=-

1

2

∴f(

2π

3

)=

3

sin2

2π

3

+sin

2π

3

cos

2π

3

=

3 3

4

-

3

4

=

3

2

．…（4分）
（Ⅱ）∵sin²x=

1-cos2x

2

，sinxcosx=

1

2

sin2x
∴f(x)=

3

2

(1-cos2x)+

1

2

sin2x=sin(2x-

π

3

)+

3

2

．…（8分）
因为x∈[

π

2

， π]，所以2x-

π

3

∈[

2π

3

， 

5π

3

]．…（9分）
当2x-

π

3

=

2π

3

，即x=

π

2

时，f（x）的最大值为

3

；         …（11分）
当2x-

π

3

=

3π

2

，即x=

11π

12

时，f（x）的最小值为-1+

3

2

．…（13分）