Question

已知函数f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R．
（1）若x=2是函数f（x）的极值点，求实数a的值．
（2）若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）在[1，e]上的最小值为3，求实数a的值．

Answer 1

（1）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
定义域为（0，+∞），
由f^′（x）=0，得x-2a=0，即x=2a．
所以，当x∈（0，2a）时，f^′（x）＜0，f（x）为减函数；
当x∈（2a，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以在（0，+∞）上f（x）有极小值点x=2a，由已知x=2是函数f（x）的极值点，
所以2a=2，则a=1；
（2）由f(x)=lnx+

2a

x

，a∈R，所以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

．
若函数f（x）在[2，+∞）上是增函数，则f′(x)=

x-2a

x2

≥0在[2，+∞）恒成立，
即x-2a≥0在[2，+∞）恒成立，也就是a≤

x

2

在[2，+∞）恒成立，
所以a≤1．
所以使函数f（x）在[2，+∞）上是增函数的实数a的取值范围是（-∞，1]；
（3）由（2）知，以f′(x)=

1

x

-

2a

x2

=

x-2a

x2

，
若a≤0，则f^′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上为增函数，
f（x）在[1，e]上的最小值为f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合题意；
若a＞0，由f^′（x）=0，得x=2a．
当x∈（0，2a）时，f^′（x）＜0，f（x）为减函数，
当x∈（2a，+∞）时，f^′（x）＞0，f（x）为增函数，
所以当2a≤1，即a≤

1

2

时，f（x）在[1，e]上为增函数，
最小值为f（1）=2a=3，a=

3

2

，不合题意；
当2a≥e，即a≥

e

2

时，f（x）在[1，e]上为减函数，
最小值为f（e）=1+

2a

e

=3，a=e，符合题意；
当1＜2a＜e，即

1

2

＜a＜

e

2

时，f（x）在[1，e]上的最小值为f（2a）=ln2a+1=3，a=

e2

2

不合题意．
综上，使函数f（x）在[1，e]上的最小值为3的实数a的值为e．