Question

（本小题满分14分）已知椭圆C：，其相应于焦点的准线方程为。

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）已知过点倾斜角为的直线分别交椭圆C于A、B两点，

求证：；

（Ⅲ）过点作两条互相垂直的直线分别交椭圆C于A、B和D、E，

求的最小值。

Answer 1

 本题主要考查直线的方程、椭圆的方程和性质、直线与椭圆的位置关系等知识。考查数形结合的数学思想以及运算能力和综合解题能力。

解：（Ⅰ）由题意得：，∴，∴椭圆C的方程为。

（Ⅱ）方法一：由（Ⅰ）知，是椭圆C的左焦点，离心率，

设是椭圆的左准线，则：

作于，于，于轴交于点H（如图），

∵点A在椭圆上，

∴==

∴，同理

∴。

方法二：当时，记。则AB：

将其代入方程得

设，则是此二次方程的两个根。

∴，

        ①

∵，代入①式得。        ②

当时，仍满足②式。

∴。

（Ⅲ）设直线AB倾斜角为，由于DE⊥AB，由（Ⅱ）可得

，

当或时，取得最小值。