Question

已知函数f（x）的定义域为（0，+∞），且满足条件：
①f（x•y）=f（x）+f（y）    ②f（2）=1    ③当x＞1时，f（x）＞0
（1）求f（1）的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性；
（3）求满足f（x）+f（2x）≤2的x的取值范围．

Answer 1

（1）在①中令x=y=1，得f（1）=f（1）+f（1）故 f（1）=0   …（2分）
（2）在①中令y=

1

x

，得f（1）=f（x）+f（

1

x

）=0
即f（

1

x

）=-f（x），
函数f（x）在（0，+∞）上的单调递增，理由如下：
任取x₁，x₂，设x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1
∵当x＞1时，f（x）＞0
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（

1

x1

）=f（

x2

x1

）＞0   …（6分）
f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数，…（8分）
（3）由f（2）=1，得2f（2）=2=f（2）+f（2）=f（4）…（9分）
∴f（x）+f（2x）≤2可化为

x＞0 2x＞0 x•2x≤4

解得0＜x≤

2

．…（12分）