Question

已知函数f ( x )=

1-m+lnx

x

，m∈R．
（Ⅰ）求f（x）的极值；
（Ⅱ）若lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由导数运算法则知，f′ ( x )=

m-lnx

x2

，再利用导数与单调性关系解得即可；
（2）存在性问题，只需等价于只需

lnx

x

在（0，+∞）上的最大值小于a即可，函数的最值问题利用导数解决．

解答：解：（Ⅰ）由导数运算法则知，f′ ( x )=

m-lnx

x2

．
令f'（x）=0，得x=e^m．（3分）
当x∈（0，e^m）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e^m，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．
故当x=e^m时，f（x）有极大值，且极大值为f（e^m）=e^-m．（6分）
（Ⅱ）欲使lnx-ax＜0在（0，+∞）上恒成立，只需

lnx

x

＜a在（0，+∞）上恒成立，
等价于只需

lnx

x

在（0，+∞）上的最大值小于a．（9分）
设g ( x )=

lnx

x

（x＞0），由（Ⅰ）知，g（x）在x=e处取得最大值

1

e

．
所以a＞

1

e

，即a的取值范围为( 

1

e

 ， +∞ )．（13分）

点评：本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，以及综合运用上述知识分析问题和解决问题的能力．