Question

设Q、G分别为△ABC的外心和重心，已知A（-1，0），B（1，0），QG∥AB．
（1）求点C的轨迹E．
（2）轨迹E与y轴两个交点分别为A₁，A₂（A₁位于A₂下方）．动点M、N均在轨迹E上，且满足A₁M⊥A₁N，试问直线A₁N和A₂M交点P是否恒在某条定直线l上？若是，试求出l的方程；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设C（x，y），由A（-1，0），B（1，0），知，由Q是外心，且QG∥AB，能求出点C的轨迹E．
（2）由，设A₁N的方程为，由A₁N⊥A₁M，知A₁M的方程为，
代入方程得（3+k²）x²+2kx=0，由此能够推导出点P在定直线上．
解答：解：（1）设C（x，y），
∵A（-1，0），B（1，0），
∴…（2分）
又∵Q是外心，且QG∥AB
∴…（2分）
∵|QA|=|QC|
∴，
即…（7分）
（2）由（1）可知，
设A₁N的方程为，∵A₁N⊥A₁M
∴A₁M的方程为，
代入方程得：（3+k²）x²+2kx=0，…（8分）
解得，…（10分）
代入方程
可得…（11分）
∴，
∴A₂M的方程为…（13分）
∴由
∴点P在定直线上．…（15分）
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．