Question

12．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC，3b=2a，2≤a²+ac≤18，设△ABC的面积为S，p=$\sqrt{2}$a-S，则p的最小值是（　　）

• A． $\frac{5\sqrt{2}}{9}$
• B． $\frac{7\sqrt{2}}{9}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{9\sqrt{2}}{8}$

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理求得c=a，b=$\frac{2a}{3}$，1≤a≤3，再利用余弦定理求得cosB的值，可得sinB 的值，从而△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB 的值，可得p=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a²，再利用二次函数的性质求得p的最小值．

解答 解：在△ABC中，由sinA-sinB=$\frac{1}{3}$sinC利用正弦定理可得c=3a-3b，
再根据3b=2a，2≤a²+ac≤18，可得c=a，b=$\frac{2a}{3}$，1≤a≤3．
由余弦定理可得 b²=$\frac{{4a}^{2}}{9}$=a²+a²-2a•a•cosB，
求得cosB=$\frac{7}{9}$，∴sinB=$\frac{4\sqrt{2}}{9}$，∴△ABC的面积为S=$\frac{1}{2}$•ac•sinB=$\frac{{a}^{2}}{2}$•$\frac{4\sqrt{2}}{9}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$•a²，
故p=$\sqrt{2}$a-S=$\sqrt{2}$a-$\frac{2\sqrt{2}}{9}$a²，再利用二次函数的性质结合a的范围可得当a=1时，p取得最小值是$\frac{7\sqrt{2}}{9}$，
故选：B．

点评 本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．