Question

函数f（x）=log_a（x-1）+1（a＞0且a≠1）的图象恒过点A，若点A在直线mx-y+n=0上，则4^m+2ⁿ的最小值为

2

2

．

Answer 1

分析：先根据函数解析式推断出函数图象恒过（2，1）点，求得A点坐标，把A点代入直线方程求得m和n的关系式，进而根据基本不等式求得4^m+2ⁿ的最小值．

解答：解：由题意，函数f（x）的图象恒过（2，1）即A（2，1），故2m+n=1．
∴4^m+2ⁿ≥2

4m•2n

=2

22m+n

=2

2

．
当且仅当4^m=2ⁿ，即2m=n，
即n=

1

2

，m=

1

4

时取等号．
∴4^m+2ⁿ的最小值为2

2

．
故答案为：2

2

点评：本题的考点是基本不等式在最值中的应用，主要考查了利用基本不等式求最值，关键是得出等式2m+n=1．解题的时候注意等号成立的条件．