Question

（2013•辽宁一模）甲乙两人进行乒乓球对抗赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一个比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为P（P＞

1

2

)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

9

．若图为统计这次比赛的局数n和甲，乙的总得分数S，T的程序框图．其中如果甲获胜则输入a=1，b=0．如果乙获胜，则输入a=0，b=1．
（1）在图中，第一，第二两个判断框应分别填写什么条件？
（2）求P的值．
（3）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）从框图知，这是一个含有两个条件的框图，结合题目所给的条件，程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．
（2）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．所以p²+（1-p）²=

5

9

，由此能求出p的值．
（3）依题意知，ξ的所有可能值为2，4，6．设每两局比赛为一轮，则该轮结束时比赛停止的概率为

5

9

．若该轮结束时比赛还将继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响．写出分布列和期望．

解答：解：（1）程序框图中的第一个条件框应填M=2，第二个应填n=6．…（8分）
注意：答案不唯一． 如：第一个条件框填M＞1，第二个条件框填n＞5，或者第一、第二条件互换，都可以．
（2）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．
所以p²+（1-p）²=

5

9

，
解得：p=

2

3

或p=

1

3

，
因为p＞

1

2

，所以p=

2

3

．…（6分）
（3）依题意知，ζ的所有可能值为2，4，6．                            …（9分）
由已知 P（ξ=2）=

5

9

，P（ξ=4）=C

1 2

p³（1-p）+C

1 2

（1-p）³p=

20

81

P（ξ=6）=1-P（ξ=2）-P（ξ=4）=

16

81

．…（11分）
∴随机变量ζ的分布列为：

ζ	2	4	6
P	5 9	20 81	16 81

故Eξ=2×

5

9

+4×

20

81

+6×

16

81

=

266

81

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．