Question

已知数列{a_n}满足：a1=-

2

3

，an+1=

-2an-3

3an+4

（n∈N₊）．
（1）证明数列{

1

an+1

}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：bn=

3n

an+1

（n∈N₊），求{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由数列递推式两边加上1，再取倒数，即可证得数列{

1

an+1

}是等差数列，从而可求{a_n}的通项公式；
（2）确定数列的通项．利用错位相减法，即可求{b_n}的前n项和S_n．

解答：（1）证明：因为

1

an+1+1

=

1

-2an-3 3an+4 +1

=

3an+4

an+1

=3+

1

an+1

所以

1

an+1+1

-

1

an+1

=3
所以{

1

an+1

}是首项为3，公差为3的等差数列，
所以

1

an+1

=3n，
所以an=

1

3n

-1；
（2）解：由已知bn=

3n

an+1

=3n+1n
∴Sn=32×1+3^×2+…+3n×(n-1)+3n+1×n①3Sn=33×1+34×2+…+3n+1×(n-1)+3n+2×n②
①-②得-2Sn=32+3^+…+3n+1-3n+2×n=

32(3n-1)

3-1

-3n+2×n
所以Sn=

3n+2-9

-4

+

n

2

3n+2=

(2n-1)

4

3n+2+

9

4

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项与求和，考查学生的计算能力，属于中档题．