Question

如图，设椭圆

x2

16

+

y2

7

=1的左右焦点分别为F₁、F₂，过焦点F₁的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF₂的内切圆的面积为π，设A、B两点的坐标分别为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则|y₁-y₂|值为

 

．

Answer 1

分析：根据椭圆方程求得a、c的值，从而得到椭圆的焦点坐标．利用椭圆的定义算出△ABF₂的周长为16，由圆面积公式求得△ABF₂的内切圆半径r=1，从而算出△ABF₂的面积为8．最后根据△ABF₂的形状，算出其面积S=S△AF1F2+S△BF1F2=3|y₂-y₁|，由此建立关系式并解之，即可得出|y₂-y₁|的值．

解答：解：∵椭圆

x2

16

+

y2

7

=1中，a²=16且b²=4，
∴a=4，c=

a2-b2

=3，可得椭圆的焦点分别为F₁（-3，0）、F₂（ 3，0），
设△ABF₂的内切圆半径为r，
∵△ABF₂的内切圆面积为S=πr²=π，∴r=4，
根据椭圆的定义，得|AB|+|AF₂|+|BF₂|=（|AF₁|+|AF₂|）+（|BF₁|+|BF₂|）=4a=16．
∴△ABF₂的面积S=

1

2

（|AB|+|AF₂|+|BF₂|）×r=

1

2

×16×1=8
又∵△ABF₂的面积S=S△AF1F2+S△BF1F2=

1

2

×|y₁|×|F₁F₂|+

1

2

×|y₂|×|F₁F₂|
=

1

2

×（|y₁|+|y₂|）×|F₁F₂|=3|y₂-y₁|（A、B在x轴的两侧）
∴3|y₂-y₁|=8，解之得|y₂-y₁|=

8

3

．
故答案为：

8

3

点评：本题给出椭圆经过左焦点F₁的弦AB，在已知△ABF₂的内切圆的面积情况下，求A、B两点的纵坐标之差．着重考查了椭圆的定义、三角形内切圆的性质和三角形的面积公式等知识，属于中档题．