Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率等于

3

2

，且经过点（1，

3

2

），
（1）求椭圆C的方程；
（2）若经过点（-1，

1

2

）的直线l与椭圆C交于A、B两个不同点，且满足

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

（O为坐标原点）关系的点M也在椭圆C上，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用椭圆的离心率等于

3

2

，且经过点（1，

3

2

），建立方程，求得几何量，即可求椭圆C的方程；
（2）设出直线方程与椭圆方程联立，利用向量知识，结合韦达定理，即可求得结论．

解答：解：（1）由题意知

c

a

=

3

2

，

1

a2

+

3

4b2

=1，解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
若直线l的斜率存在时，设直线l：y=k（x-1），代入椭圆方程，
消去y可得（1+4k²）x²+（8k²+4k）x+4k²+4k-3=0
∴x₁+x₂=-

8k2+4k

1+4k2

，x₁x₂=

4k2+4k-3

1+4k2

设M（x，y），则∵

OM

=

1

2

OA

+

3

2

OB

∴（x，y）=（

1

2

x1+

3

2

x2，

1

2

y1+

3

2

y2）
∵M在椭圆上，∴

x2

4

+y2=1
∴

( 1 2 x1+ 3 2 x2)2

4

+(

1

2

y1+

3

2

y2)2=1
∴x₁x₂+4y₁y₂=0
∵x₁x₂=

4k2+4k-3

1+4k2

，∴y₁y₂=

-12k2+4k+1

4+16k2

∴

4k2+4k-3

1+4k2

+4×

-12k2+4k+1

4+16k2

=0
∴k=

1

2

当l的斜率不存在时，不满足条件
∴直线l的方程为x-2y+2=0．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识，联立方程，正确运用韦达定理是关键．