Question

已知函数f（x）=，a∈R．
（I）若曲线y=f（x）在点（4，f（4））处切线的斜率为12，求a的值；
（II）若x∈[0，1]，求函数f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（I）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（3，f（3））处切线的斜率为12，即f'（3）=12，从而可求a的值；
（II）求导函数，令导数为0，可得x₁=0，x₂=a，结合x∈[0，1]，分类讨论，即可求得函数f（x）的最小值．
解答：解：（I）f（x）的定义域为R                                      …（1分）
∵f（x）=，∴f′（x）=3x²-3ax…（2分）
又∵曲线y=f（x）在点（3，f（3））处切线的斜率为12，
∴f'（3）=12
∴3×3²-9a=0…（5分）
∴a=3                                                      …（6分）
（II）∵f′（x）=3x²-3ax
由 f′（x）=3x²-3ax=0得x₁=0，x₂=a                    …（7分）
当a≤0时，在区间（0，1）上f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴当x=0时，函数f（x）有最小值是f（0）=a；   …（9分）
当0＜a＜1时，在区间（0，a）上f（x）＜0，f（x）单调递减，在区间（a，0）上f′（x）＞0，f（x）单调递增．
∴当x=a时，函数f（x）有最小值是；          …（11分）
当a≥1时，在区间（0，1）上f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）有最小值是．
综上可得，当a≤0时，函数f（x）的最小值是f（0）=a；
当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值是；
当a≥1时，函数f（x）的最小值是．…（14分）
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，正确求导，合理分类是关键．