题目内容
已知函数f（x）=2
sinxcosx-2cos（x+
）cos（x-
）．（I）求函数f（x）的最小正周期和图象的对称轴方程；
（II）求函数f（x）在区间[-
]上的值域．
【答案】分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 2sin（2x-
），由此求得最小正周期以及对称轴方程．
（II）由-
≤x≤
，求得 2x-
的范围，从而求得函数 f（x）=2sin（2x-
）的值域．
解答：解：（I）求函数f（x）=2
sinxcosx-2cos（x+
）cos（x-
）=
sin2x+sin（2x-
）=
sin2x-cos2x=2sin（2x-
）．
故函数f（x）的最小正周期为
=π，再由2x-
=kπ+
可得对称轴方程为 x=
+
，k∈z．
（II）∵-
≤x≤
，∴-
≤2x-
≤
，故当 2x-
=
时，函数取得最大值为2，当 2x-
=-
时，函数取得最小值为-2
×
=-
，
故函数f（x）在区间[-
]上的值域为[-
，2]．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、周期性，以及定义域、值域，属于中档题．
），由此求得最小正周期以及对称轴方程．（II）由-
≤x≤，求得 2x- 的范围，从而求得函数 f（x）=2sin（2x-）的值域．解答：解：（I）求函数f（x）=2
sinxcosx-2cos（x+）cos（x-）=sin2x+sin（2x-）=sin2x-cos2x=2sin（2x-）．故函数f（x）的最小正周期为
=π，再由2x-=kπ+可得对称轴方程为 x=+，k∈z．（II）∵-
≤x≤，∴-≤2x-≤，故当 2x-=时，函数取得最大值为2，当 2x-=-时，函数取得最小值为-2×=-，故函数f（x）在区间[-
]上的值域为[-，2]．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、周期性，以及定义域、值域，属于中档题．
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