Question

如图：在山脚下A测得山顶P的仰角为a，沿倾斜角为β的斜坡向上走a米到达点B，在B处测得山顶P的仰角为γ，则山高PQ为

asinαsin(γ-β)

sin(γ-α)

米．

Answer 1

分析：过B作BC垂直于PQ，过B作BD垂直于AQ，可得BD=CQ，由已知条件表示出∠PAB及∠BPA，在三角形ABP中，由a，sin∠PAB及sin∠BPA，利用正弦定理表示出PB，在直角三角形PBC中，由PBsinγ表示出PC，在直角三角形ABD中，由asinβ表示出BD，即为CQ的长，然后由PC+CQ表示出PQ即可．

解答：
解：过B作BC⊥PQ，交PQ于点C，过B作BD⊥AQ，交AQ于点D，
可得BD=CQ，
在△PAB中，∠PAB=α-β，∠BPA=（

π

2

-α）-（

π

2

-γ）=γ-α，
∴

PB

sin(α-β)

=

a

sin(γ-α)

，即PB=

asin(α-β)

sin(γ-α)

，
则PQ=PC+CQ=PB•sinγ+asinβ
=

asin(α-β)

sin(γ-α)

•sinγ+asinβ
=

asin(α-β)sinγ+asinβsin(γ-α)

sin(γ-α)

=

asinαcosβsinγ -acosαsinβsinγ+asinβsinγcosα-asinβcosγsinα

sin(γ-α)

=

asinα(cosβsinγ -sinβcosγ)

sin(γ-α)

=

asinαsin(γ-β)

sin(γ-α)

．
故答案为：

asinαsin(γ-β)

sin(γ-α)

点评：此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：正弦定理，锐角三角函数定义，以及直角三角形的边角关系，利用正弦定理表示出PB是解本题的关键．