题目内容

在平面直角坐标系xOy中，设圆C：（x-1）2+（y-2）2=1在矩阵A=
k0
0k
 (k＞0)对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π，求k的值．
分析：根据矩阵A的变换原理，采用坐标转移法得到矩阵A将圆C：（x-1）2+（y-2）2=1变成以C'（k，2k）为圆心、半径为k的圆，由此结合圆的面积公式加以计算，即可得到k的值．
解答：解：设点P（x，y），则点P在矩阵A=
k0
0k
 (k＞0)对应的线性变换下得到P（x'，y'）
满足
x′ 
y′ 
=A
x 
y 
=
kx 
ky 
，得
x′=kx
y′=ky


因此若点P（x，y）在圆C：（x-1）2+（y-2）2=1上，则
点P'（x'，y'）满足（
x′
k
-1）2+（
y′
k
-2）2=1上，即（x'-k）2+（y'-2k）2=k2
对应以C'（k，2k）为圆心，半径为k的圆，
得πk2=4，解之得k=2．
点评：本题给出矩阵变换，在圆C变换后面积变为4π的情况下求实数k的值，着重考查了矩阵变换公式和直线与圆的方程等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在直线y=x+4上，半径为2
2
的圆C经过坐标原点O，椭圆
x2
a2
+
y2
9
=1(a＞0)与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10．
（1）求圆C的方程；
（2）若F为椭圆的右焦点，点P在圆C上，且满足PF=4，求点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系xOy中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．若点A的横坐标是
3
5
，点B的纵坐标是
12
13
，则sin（α+β）的值是
16
65
16
65
．
在平面直角坐标系xOy中，若焦点在x轴的椭圆
x2
m
+
y2
3
=1的离心率为
1
2
，则m的值为
4
4
．
（2013•泰州三模）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，1），B（0，-1），C（t，0），D(
3t
，0)，其中t≠0．设直线AC与BD的交点为P，求动点P的轨迹的参数方程（以t为参数）及普通方程．
（2013•东莞一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F1（-1，0），且椭圆C的离心率e=
1
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设椭圆C的上下顶点分别为A1，A2，Q是椭圆C上异于A1，A2的任一点，直线QA1，QA2分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值，并求出该定值；
（3）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=2与圆O：x2+y2=
16
7
相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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