Question

已知抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，A，B，C为抛物线上三点．若，且．
（1）求抛物线方程；
（2）（文）若OA⊥OB，直线AB与x轴交于一点（m，0），求m．
（2）（理）若以为AB为直径的圆经过坐标原点O，则求证直线AB经过一定点，并求出定点坐标．

Answer 1

解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃）
∵点A（x₁，y₁）在抛物线y²=2px上，
∴根据抛物线的定义得，同理可得，
∵，
∴…①
∵，∴=（，y₁），=（，y₂），=（，y₃），
又∵，
∴…②
联解①②得：P=2
因此，抛物线方程为：y²=4x
（2）（文）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵OA⊥OB，∴=x₁x₂+y₁y₂=0…③
设过点m的直线方程为：y=k（x-m），
由，消去x得：ky²-4y-4km=0
由韦达定理得：y₁y₂=-4m，所以x₁x₂=•=（y₁y₂）²=m²，
将上式代入③，得m²+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（2）（理）设直线AB方程为：y-y₁=k（x-x₁），
其中斜率k===
∴直线AB方程化为：y-y₁=（x-x₁），
∵以为AB为直径的圆经过坐标原点O，
∴∠AOB=90°，可得向量，所以=x₁x₂+y₁y₂=0…④
∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）都在抛物线y²=4x上，
∴x₁=y₁²，x₂=y₂²，代入④得：（y₁y₂）²+y₁y₂=0
∴y₁y₂=-16（舍y₁y₂=0），可得y₂=-，
将y₂=-和代入直线AB方程，化简可得：4x-（y₁+）y-16=0
令y=0，得x=4，因此直线AB经过定点（4，0）．
分析：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），根据根据抛物线的定义得：…①；根据向量的坐标运算得：…②，联解①②可得抛物线方程为：y²=4x；
（2）（文）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根据OA⊥OB，得=x₁x₂+y₁y₂=0…③．再由直线y=k（x-m）与抛物线方程消去x得：ky²-4y-4km=0，结合韦达定理得：y₁y₂=-4m，结合抛物线方程求得x₁x₂=（y₁y₂）²=m²，将它代入③，得m²+（-4m）=0，所以m=0（舍）或m=4．
（理）设直线AB方程为：y-y₁=k（x-x₁），其中斜率k==，直线AB方程化为：y-y₁=（x-x₁）．结合以为AB为直径的圆经过坐标原点O，
可以证明出x₁x₂+y₁y₂=0…④，将x₁=y₁²，x₂=y₂²，代入④得：（y₁y₂）²+y₁y₂=0，从而y₁y₂=-16，可得y₂=-．最后将y₂=-和代入直线AB方程，化简可得：4x-（y₁+）y-16=0，再令y=0得x=4，因此直线AB经过定点（4，0）．
点评：本题以直线方程和向量的坐标运算为载体，着重考查了抛物线的标准方程和抛物线的简单几何性质，属于中档题．