Question

已知定义在R上的函数f（x），且函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）对称，当x≥0时，f（x）=x²+2x，若f（2-a²）＞f（a），则实数a的取值范围是

1. A.
   （-∞，-1）∪（2，+∞）
2. B.
   （-1，2）
3. C.
   （-2，1）
4. D.
   （-∞，-2）∪（1，+∞）

Answer 1

C
分析：由已知中函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）对称，根据函数图象的平移变换法则及奇函数的定义，可分析出函数为奇函数，结合已知中x≥0时的解析式，有奇函数在对称区间上单调性相同，可判断出函数的单调性，将不等式f（2-a²）＞f（a）化为2-a²＞a，解不等式可得答案．
解答：若函数y=f（x-3）的图象关于（3，0）对称，
则函数y=f（x）的图象关于（0，0）对称，即函数y=f（x）为奇函数
又∵当x≥0时，f（x）=x²+2x，f′（x）=2x+2＞0，故f（x）为增函数
故x≤0时，f（x）也为增函数
即函数f（x）在R上为增函数
若f（2-a²）＞f（a），则2-a²＞a，即a²+a-2＜0
解得-2＜a＜1
故选C
点评：本题考查的知识点是函数单调性，函数奇偶性，函数图象的平移变换，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．