Question

已知函数f(x)=

(2-m)x

x2+m

．
（Ⅰ）当m=1时，求曲线f（x）在点(

1

2

，f(

1

2

))处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当m=1时，求导数，求出曲线f（x）在点(

1

2

，f(

1

2

))处的切线的斜率，可得切线方程；
（Ⅱ）求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可求函数f（x）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）当m=1时，f(x)=

x

x2+1

．
因为f′(x)=

-x2+1

(x2+1)2

，所以k=f′(

1

2

)=

12

25

．
因为f(

1

2

)=

2

5

，所以函数f（x）在点(

1

2

，f(

1

2

))处的切线方程为12x-25y+4=0．…（6分）
（Ⅱ）f′(x)=

(2-m)(x2+m)-(2-m)x•2x

(x2+m)2

=

(m-2)(x2-m)

(x2+m)2

（1）当m=0时，f(x)=

2

x

．
因为f′(x)=-

2

x2

，当f'（x）＜0时，x＜0，或x＞0．
所以函数f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞），无单调增区间．
（2）当m＜0时，f（x）的定义域为{x|x≠±

-m

}．
当f'（x）＜0时，x＜-

-m

或-

-m

＜x＜

-m

或x＞

-m

，
所以函数f（x）的单调减区间为(-∞，-

-m

)，(-

-m

，

-m

)，(

-m

，+∞)，无单调增区间．
（3）当m＞0时，f′(x)=

(m-2)(x+ m )(x- m )

(x2+m)2

．
①当0＜m＜2时，
若f'（x）＜0，则x＜-

m

或x＞

m

，
若f'（x）＞0，则-

m

＜x＜

m

，
所以函数f（x）的单调减区间为(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)，
函数f（x）的单调增区间为(-

m

，

m

)．
②当m=2时，f（x）=0，为常数函数，无单调区间．
③当m＞2时，若f'（x）＜0，则-

m

＜x＜

m

，若f'（x）＞0，则x＜-

m

或x＞

m

，
所以函数f（x）的单调减区间为(-

m

，

m

)，
函数f（x）的单调增区间为(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)．
综上所述，当m=0时，函数f（x）的单调减区间为（-∞，0），（0，+∞），无单调增区间；
当m＜0时，函数f（x）的单调减区间为(-∞，-

-m

)，(-

-m

，

-m

)，(

-m

，+∞)，无单调增区间；
当m＞0时，①当0＜m＜2时，函数f（x）的单调减区间为(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)，函数f（x）的单调增区间为(-

m

，

m

)；
②当m=2时，f（x）=0，为常数函数，无单调区间；
③当m＞2时，函数f（x）的单调减区间为(-

m

，

m

)，函数f（x）的单调增区间为(-∞，-

m

)，(

m

，+∞)…（13分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．