Question

17．在△ABC中，∠A=$\frac{3π}{4}$，AB=4，AC=2$\sqrt{2}$，点D在BC边上．
（1）若D为BC的中点，求AD的长；
（2）若AD=DC，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）通过余弦定理可知BC²=40即BC=2$\sqrt{10}$，通过余弦定理可知cosC=$\frac{\sqrt{20}}{5}$，利用CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{10}$及余弦定理可知AD²=2，从而可得结论；
（2）通过（1）可知cosC=$\frac{\sqrt{20}}{5}$，利用余弦定理及AD=DC计算即得结论．

解答 解：（1）由余弦定理可知：BC²=AC²+AB²-2AC•AB•cos∠A
=$8+16-2×2\sqrt{2}×4×cos\frac{3π}{4}$
=40，
∴BC=2$\sqrt{10}$，
∵cosC=$\frac{A{C}^{2}+B{C}^{2}-A{B}^{2}}{2AC•BC}$
=$\frac{8+40-16}{2×2\sqrt{2}×2\sqrt{10}}$
=$\frac{\sqrt{20}}{5}$，
又∵D为BC的中点，
∴CD=$\frac{1}{2}$BC=$\sqrt{10}$，
∴AD²=AC²+CD²-2AC•CD•cosC
=$8+10-2×2\sqrt{2}×\sqrt{10}×$$\frac{\sqrt{20}}{5}$
=2，
∴AD=$\sqrt{2}$；
（2）由（1）可知，cosC=$\frac{\sqrt{20}}{5}$，
∴AD²=AC²+DC²-2AC•DC•cosC
=AC²+AD²-2AC•AD•cosC，
整理得：AD=$\frac{AC}{2cosC}$=$\frac{2\sqrt{2}}{2×\frac{\sqrt{20}}{5}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查解三角形，注意解题方法的积累，属于中档题．