Question

已知关于x的不等式

ax-5

x-a

＜0的解集为M．
（1）当a=1时，求集合M；
（2）当3∈M且5∉M时，求实数a的范围．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，

x-5

x-1

＜0，解得x的范围，可得M．
（2）由3∈M，可得

3a-5

3-a

＜0，解得a的范围 ①，由5∉M，可得

5a-5

5-a

＜0不成立，解得a的范围②，把①②取交集，可得实数a的范围．

解答：解：（1）当a=1时，

x-5

x-1

＜0，解得 1＜x＜5，∴M=（1，5）．…（5分）
（2）∵3∈M，∴

3a-5

3-a

＜0，解得a＜

5

3

，或a＞3．①…（8分）
∵5∉M，∴

5a-5

5-a

＜0不成立，即 a＜1，或a＞5不成立，∴1≤a≤5，②…（11分）
由①②知 1≤a＜

5

3

，或3＜a≤5，即实数a的范围为[1，

5

3

）∪（3，5]．…（12分）

点评：本题主要考查分式不等式的解法，元素与集合的关系判断，属于中档题．