Question

（2013•丰台区一模）已知以原点为对称中心、F（2，0）为右焦点的椭圆C过P（2，

2

），直线l：y=kx+m（k≠0）交椭圆C于不同的两点A，B．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）是否存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3）？若存在求出 k的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，由给出的椭圆焦点和椭圆过点P（2，

2

），联立列出关于a，b的方程组，求解后则椭圆方程可求；
（Ⅱ）存在实数k，使线段AB的垂直平分线经过点Q（0，3），由给出的椭圆方程和直线AB方程联立，化为关于x的方程后有根与系数关系写出AB中点坐标，由AB的中点和Q（0，3）的连线和直线AB垂直得到直线AB的斜率和截距的关系，代入判别时候不满足判别式大于0，说明假设不成立，得到结论．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
∵c=2，且椭圆过点P（2，

2

），所以

a2-b2=4 4 a2 + 2 b2 =1

，解得a²=8，b²=4，
所以椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（Ⅱ）假设存在斜率为k的直线，其垂直平分线经过点Q（0，3），
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），AB的中点为N（x₀，y₀），
由

x2 8 + y2 4 =1 y=kx+m

，得（1+2k²）x²+4mkx+2m²-8=0，
则△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，所以8k²-m²+4＞0，
又x1+x2=-

4mk

1+2k2

，∴x0=

x1+x2

2

=-

2mk

1+2k2

，y0=kx0+m=

m

1+2k2

，
∵线段AB的垂直平分线过点Q（0，3），∴k_NQ•k=-1，即

y0-3

x0

•k=-1，∴-m=3+6k²，
代入△＞0整理，得36k⁴+28k²+5＜0，此式显然不成立．
∴不存在满足题意的k的值．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了设而不求的解题方法，属中档题．