题目内容

已知定义在R上的周期为2的偶函数f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=x-2x2，则f（x）在区间[0，2014]内零点的个数为（　　）
分析：由题意可求得函数是一个周期函数，且周期为2，故可以研究出一个周期上的函数图象，再研究所给的区间包含了几个周期即可知道在这个区间中的零点的个数
解答：解：f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，又x∈[0，1]时，f（x）=x-2x2，
要研究函数y=f（x）在区间[0，2014]零点个数，可将问题转化为y=f（x）与x轴在区间[0，2014]有几个交点，如图

由图知，f（x）在区间[0，2014]内零点分别是：0，
1
2
，
3
2
，2，
5
2
，…，
4027
2
，2014．共有3022个零点．
故答案为：D．
点评：本题考查函数的零点，求解本题，关键是研究出函数f（x）性质，作出其图象，将函数y=f（x）在区间[0，2013]的零点个数的问题转化为交点个数问题是本题中的一个亮点，此一转化使得本题的求解变得较容易．
练习册系列答案
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6、已知定义在R上的函数f（x）为奇函数，且函数f（2x+1）的周期为5，若f（1）=5，则f（2009）+f（2010）的值为（　　）
已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上单调递增，那么，下列关于此函数f（x）性质的表述：
①函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称； 
②函数y=f（x）是周期函数；
③当x∈[-3，-2]时，f′（x）≥0； ④函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点．  
其中正确表述的番号是
①②④
①②④
．
已知定义在R上的偶函数f（x）满足条件：f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函数，给出下面关于f（x）的命题：
①f（x）是周期函数；    
②f（x）在[0，1]上是增函数    
③f（x）在[1，2]上是减函数       
④f（2）=f（0）
其中正确的命题序号是
①④
①④
．（注：把你认为正确的命题序号都填上）
（2012•蓝山县模拟）已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx，（ω＞0，a＞0，b＞0）周期为π，f(
π
4
)=
3
，f（x）最大值为2
（1）写出f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）在区间[-
π
2
，
π
2
]上的单增区间．

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