Question

已知定义在R上的偶函数f（x）满足：f（x+2）=f（x）+f（1）且在区间[0，1]上单调递增，那么，下列关于此函数f（x）性质的表述：
①函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称； 
②函数y=f（x）是周期函数；
③当x∈[-3，-2]时，f′（x）≥0； ④函数y=f（x）的图象上横坐标为偶数的点都是函数的极小值点．  
其中正确表述的番号是

①②④

．

Answer 1

分析：先利用赋值法证明f（1）=0，从而利用函数周期性的定义证明函数的周期性，再利用已知函数性质证明函数的对称性，最后利用函数的周期性和单调性判断函数的单调性和极值即可

解答：解：令x=-1，则f（-1+2）=f（-1）+f（1），又f（-1）=f（1）
∴f（1）=2f（1），∴f（1）=0
∴f（x+2）=f（x）
∴函数y=f（x）是周期函数，最小正周期为2，②正确；
再将上式中的x替换为x-1，得f（x+1）=f（x-1）=f（1-x）
∴函数y=f（x）的图象关于直线x=1对称，①正确；
∵函数f（x）在区间[0，1]上单调递增，∴函数f（x）在区间[-1，0]上单调递减，
又函数的周期为2，∴函数f（x）在区间[-3，-2]上单调递减，此时f′（x）≤0，③错误；
∵函数f（x）在一个周期[-1，1]上有且只有一个零点x=0，且函数周期为2，∴x=0+2k，k∈Z均为函数的零点，④正确
故答案为①②④

点评：本题主要考查了函数性质的抽象表达，利用抽象表达式证明函数的周期性、对称性，利用函数的周期性证明函数的整体性质等知识和技能