Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥面ABCD，底面ABCD为菱形，且有AB=1，AP=

2

，∠BAD=120°，E为PC中点．
（Ⅰ）证明：AC⊥面BED；
（Ⅱ）求二面角E-AB-C的平面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）设O为底面ABCD的中心，连接EO，
∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD
∵△PAC中，E、O分别是PC、PA的中点
∴EO∥PA
又∵PA⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD
∵AC?面ABCD，∴AC⊥EO
又∵BD、EO是平面BED内的两条相交直线
∴AC⊥面BED（6分）
（Ⅱ）以A为原点，AD、AP所在直线分别为y轴、z轴，建立如图所示坐标系，则可得A(0，0，0)，B(

3

2

，-

1

2

，0)，C(

3

2

，

1

2

，0)，E(

3

4

，

1

4

，

2

2

)
∴

AB

=(

3

2

，-

1

2

，0)，

AE

=(

3

4

，

1

4

，

2

2

)，

AC

=(

3

2

，

1

2

，0)（8分）
设

n1

=(x1，y1，z1)是平面ABE一个法向量
由

n1 • AB =x1• 3 2 +y1•(- 1 2 )+z1•0=0 n1 • AE =x1• 3 4 +y1• 1 4 +z1• 2 2 =0

，解得

y1= 3 x1 z1=- 6 2 x1

，
所以取x₁=1，y1=

3

，z1=-

6

2

，可得

n1

=(1，

3

，-

6

2

)，
因为PA⊥平面ABC，所以向量

PA

即为平面ABC的一个法向量，设

PA

=

n2

=(0，0，

2

)（10分）
∴cos＜n1，n2＞=

n1 • n2

|n1| |n2|

=

- 6 2 × 2

1+3+ 3 2 • 2

=-

33

11

根据题意可知：二面角E-AB-C是锐二面角，其余弦值等于|cos＜n₁，n₂＞|=

33

11

∴二面角E-AB-C的平面角的余弦值为

33

11

．（12分）