Question

已知数列{a_n}满足：a₁=20，a₂=7，a_n+2-a_n=-2（n∈N*）．
（Ⅰ）求a₃，a₄，并求数列{a_n}通项公式；
（Ⅱ）记数列{a_n}前2n项和为S_2n，当S_2n取最大值时，求n的值．

Answer 1

分析：（I）由a₁=20，a₂=7，a_n+2-a_n=-2，分布令n=1，2即可求解a₃，a₄，由题意可得数列{a_n}奇数项、偶数项分布是以-2为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式，分n为奇数，n为偶数两种情况可求a_n，
（II）由s_2n=a₁+a₂+…+a_2n=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+…+a_2n），分组利用等差数列的求和公式可求

解答：解：（I）∵a₁=20，a₂=7，a_n+2-a_n=-2
∴a₃=18，a₄=5
由题意可得数列{a_n}奇数项、偶数项分布是以-2为公差的等差数列
当n为奇数时，an=a1+(

n+1

2

-1)×(-2)=21-n
当n为偶数时，an=a2+(

n

2

-1)×(-2)=9-n
∴a_n=

21-n，n为奇数 9-n，n为偶数

（II）s_2n=a₁+a₂+…+a_2n
=（a₁+a₃+…+a_2n-1）+（a₂+…+a_2n）
=na1+

n(n-1)

2

×(-2)+na2+

n(n-1)

2

×(-2)
=-2n²+29n
结合二次函数的性质可知，当n=7时最大

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的简单应用及二次函数的性质的应用，体现了分类讨论思想的应用