Question

12．设集合A，B分别表示函数f（x）=$\sqrt{（1{-x}^{2}）+a}$的定义域和值域，且B是A的子集，则实数a的取值范围是[-1，+∞）．

Answer 1

分析 使得原函数有意义，便有1-x²+a≥0，从而x²≤1+a，并且可得到$0≤f（x）≤\sqrt{1+a}$，需讨论a是否为-1：a=-1时，可以验证符合条件B⊆A；而a＞-1时，会得到$A=[-\sqrt{1+a}，\sqrt{1+a}]$，B=[0，$\sqrt{1+a}$]，从而看出满足B⊆A，这样即可得出实数a的取值范围．

解答 解：使原函数有意义，则：（1-x²）+a≥0；
∴x²≤1+a   （1）；
又1-x²≤1，∴（1-x²）+a≤1+a；
∴$0≤\sqrt{（1-{x}^{2}）+a}≤\sqrt{1+a}$；
（1）若a=-1，则A=B={0}，满足B⊆A；
（2）若a＞-1，则B=[0，$\sqrt{1+a}$]；
解不等式（1）得，$-\sqrt{1+a}≤x≤\sqrt{1+a}$；
∴$A=[-\sqrt{1+a}，\sqrt{1+a}]$；
显然满足B⊆A；
∴综上得，实数a的取值范围为[-1，+∞）．
故答案为：[-1，+∞）．

点评 考查函数定义域、值域的概念，及求法，一元二次不等式的解法，根据不等式的性质的性质求函数的值域，以及子集的概念．