Question

过点P（4，2）作直线l交x轴于A点、交y轴于B点，且P位于AB两点之间．
（Ⅰ）

AP

=3

PB

，求直线l的方程；
（Ⅱ）求当

AP

•

PB

取得最小值时直线l的方程．

Answer 1

分析：设直线l：y=k（x-4）+2，可求出A（4-

2

k

，0），B（0，2-4k）．结合P位于A、B之间，建立不关于k的不等式，可得k＜0．
（I）由A、B、P的坐标，得出向量

AP

和

PB

坐标，从而将

AP

=3

PB

化为关于k的方程，解出k值即得直线l的方程；
（II）由向量数量积的坐标运算公式，得出

AP

•

PB

关于k的表达式，再用基本不等式得到

AP

•

PB

取得最小值时l的斜率k，从而得到直线l的方程．

解答：解：由题意知，直线l的斜率k存在且k≠0，
设l：y=k（x-4）+2，得令y=0，得x=4-

2

k

，所以A（4-

2

k

，0），
再令x=0，得y=2-4k，所以B（0，2-4k）…2分
因为点P（4，2）位于A、B两点之间，所以4-

2

k

＞4且2-4k＞2，解得k＜0．
∴

AP

=（

2

k

，2），

PB

=（-4，-4k）…2分
（Ⅰ）因为

AP

=3

PB

，所以

2

k

=3•(-4)，所以k=-

1

6

．
∴直线l的方程为y=-

1

6

（x-4）+2，整理得x+6y-16=0．…3分
（Ⅱ）因为k＜0，所以

AP

•

PB

=8((-k)+(-

1

k

))≥16，
当-k=-

1

k

即k=-1时，等号成立．
∴当

AP

•

PB

取得最小值时直线l的方程为y=-（x-4）+2，化为一般式：x+y-6=0．…3分．

点评：本题以向量的坐标运算为载体，求直线l的方程．着重考查了直线的方程和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．