Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+1=0，O为坐标原点，动点P在圆C外，过P作圆C的切线，设切点为M．
（1）若点P运动到（1，3）处，求此时切线l的方程；
（2）若点P为原点时，Q在圆C上运动，求线段PQ 的中点N的轨迹方程．

Answer 1

分析：（1）当过点P的切线斜率存在时，由点斜式设出切线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径求得k的值，可得切线方程．当切线斜率不存在时，要检验是否满足条件，从而得出结论．
（2）设点N（x，y），Q（x₀，y₀），则由中点公式可得x=

x   0

2

，y=

y0

2

，即 x₀=2x，y₀=2y．再把点Q的坐标代入圆的方程，化简可得点N的轨迹方程．

解答：解：（1）当过点P的切线斜率存在时，设所求切线的斜率为k，
由点斜式可得切线方程为y-3=k（x-1），即kx-y-k+3=0，
∴

|-2k+1|

1+k2

=2，解得k=-

3

4

．
故所求切线方程为-

3

4

x-y+

3

4

+3=0，即3x+4y-15=0．
当过点P的切线斜率不存在时，方程为x=1，也满足条件．
故所求圆的切线方程为3x+4y-15=0或x=1．
（2）圆C（x+1）²+（y-2）²=4，设点N（x，y），Q（x₀，y₀），则x=

x   0

2

，y=

y0

2

．
即 x₀=2x，y₀=2y，再由Q点在圆上，可得（2x+1）²+（2y-2）²=4，即4x²+4y²+4x-8y+1=0．

点评：本题主要考查求圆的切线方程的方法，注意切线斜率不存在的情况；用代入法求点的轨迹方程，属于中档题．